by TRÒ CHƠI CỦA LANDAU
Nhà vật lý Nga nổi tiếng, giải thưởng Nobel về vật lý, viện sĩ Lev D. Landau trong thời gian đi xe hơi thường đề nghị những người cùng đi tham gia trò chơi nhanh do ông nghĩ ra. Đây là trò chơi với số đăng ký của các xe ôtô mà họ gặp trên đường. Vào thời đó, số đăng ký xe chỉ gồm hai số, mỗi số lại có hai chữ số. Trò chơi yêu cầu dùng các phép tính số học và các hàm sơ cấp để tạo ra một đăng thức giữa cặp chữ số thứ nhất và cặp chữ số thứ hai, mà không được hoán vị các chữ số giữa hai cặp, hoặc không được dùng một chữ số hai lần.
Ví dụ, đối với số đăng ký 24 - 31, ta có thể đưa ra một phương án như sau: 2.4 = 3+1. Đối với số đăng ký 25 - 31, việc tìm ra đẳng thức mà trò chơi yêu cầu, hơi phức tạp hơn một chút do phải dùng tới các số âm: 2 - 5 = - (3.1). Không hiếm trường hợp người chơi phải dùng tới cả hàm logarit! Ví dụ, đối với số đăng ký 32 - 22, ta có đẳng thức sau: 3-2 = log2 2, còn đối với số 75 - 33 thì đẳng thức cần tim phức tạp hơn:
Những người chơi đôi khi cũng gặp những ví dụ rất khó. Giáo sư Kaganov, một học trò của Landau, có kể lại rằng bản thân Landau cũng gặp trường hợp mà chính ông cũng phải bó tay, đó là số đăng ký 75 - 65. (Tất nhiên, không nên nghĩ rằng Landau đã mất nhiều thì giờ và suy nghĩ thật nghiêm túc về bài toán này). Chúng tôi xin mách cho bạn: ví dụ trên có thể giải được bằng cách dùng giai thừa! Chắc bạn đã biết, giai thừa của một số tự nhiên n bằng tích tất cả các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến n: n!= 1.2.3...n. Giai thừa của 0 được định nghĩa bằng 1: 0!=1. Đắng thức này đôi khi cũng rất hữu ich trong trò chơi Landau. Ví dụ, đối với số đăng ký 49 - 02, ta có thể tim được đẳng thức sau:
Và đây là những ví dụ rất khó: 59 - 58; 47 - 97: 47 - 73 và 27 37. Các bạn hãy thử sức mình với những cặp số đó xem sao. Còn nếu bạn muốn tổ chức trò chơi này với các bạn khác, thì bạn có thể dùng các số điện thoại (chỉ dùng hai cặp số cuối cùng trong sổ danh ba hoặc số sêri trên các tờ giấy bạc để làm các con số ngẫu nhiên.
Ngày hôm nay người ta đã tìm được một vài phương pháp tổng quát để giải bài toán của Landau. Ta hãy xét một trong số các phương pháp đó.
Lấy một số đãng ký bất kỳ ab-cd, trong đó a, b, c, d là các số từ 0 đến 9, Ta xét ba trường hợp:
a) Giả sử trong các số đã cho không có số 0. Ta sẽ chứng minh rằng [sin(ab)!]º = [sin(cd)!]º = 0, trong đó ab và cd là các số có hai chữ số. Thực vậy, ta có: sin(6!)° = sin 720° =0, mà giai thừa của một số bất kỳ đều là tích của (6!) với các số nguyên tiếp sau số 6, bởi vậy sin(n!)° = 0 với mọi n≥6.
b) Giả sử rằng trong cặp chữ số bất kỳ ít nhất có một số 0. Khi đó tích của số 0 này với số đứng cạnh sẽ bằng 0 và do đó nó bằng sin của giai thừa tính ra độ của số còn lại trong biển đăng ký (như chứng minh ở trường hợp a là cũng bằng 0).
c) Giả thiết rằng cả hai số trên biển đăng ký đều có chứa số 0. Nhân các số 0 này với số đứng cạnh ta sẽ nhận được đẳng thức tầm thường.
Bạn có thể tự tìm ra phương pháp nào khác không?
Một số hình ảnh của nhà vật lý Lev Davidovich Landau
Lượng Tử (sưu tầm và giới thiệu)
0 Comments: